Admin
Well-Known Member
Staff member
Administrator
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1…. I=P(x)f(x)dx với P(x) là đa thức còn f(x) là một trong các hàm số sin(ax+b),cos(ax+b),e^(ax+b),a^x,….
Đặt u=P(x) và dv=f(x)dx
Chú ý: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải tích phân từng phần n lần , mỗi lần P(x) sẽ giảm 1 bậc
2…..I=x^k.f(x)dx trog đó f(x) là 1 trog các hàm số sin(lnx),cos(lnx),…
Đặt u=f(x) và dv=x^k.dx
3….I=P(x)f(x)dx trog đó P(x) là e^(ax+b),a^(x) còn f(x) là sin(ax+b),cos(ax+b)
Đặt u=P(x) và dv=f(x)dx
Chú ý: Trog đó dạng 2 và 3 ta sẽ gặp tích phân luân hồi, sau khi tính 2 lần lại trở về tích phân ban đầu
4….I=P(x).ln^n(x)
Đặt u=ln^n(x) và dv=P(x)dx ( tính n lần )
5….I=căn(x^2 + a^2)
Đặt u=căn(x^2 +a^2) và dv=dx
TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1…Đổi biến số cách 1: Để tính tích phân I=|f(x)dx cận từ a đến b, ta đặt t=g(x) với g(x) chứa trog f(x). tiếp theo biểu diễn f(x)dx theo t và dt. Ta thu đc tích phân theo t ( nhớ rằng đổi biến là phải đổi cận)
---- Hàm có mẫu số, có thể chọn t là mẫu số
----hàm chứa căn[g(x)] có thể chọn t=căn[g(x)]
----Hàm có dạng 1/căn[(x+a)(x+b)] có thể chọn t=căn(x+a) + căn(x+b)
2…Đổi biến số cách 2: Để tính I=|f(x)dx ta đặt x=g(t) rồi cũng làm như cách 1 ( cách này kết hợp với phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ)
----Hàm chứa căn(a^2-x^2), đặt x=asint,t thuộc [-pi/2 đến pi/2]
----Hàm chứa căn(x^2-a^2), đặt x=a/cost, t thuộc [0;pi/2) giao [pi;3pi/2]
----Hàm chứa căn(x^2+a^2), đặt x=atant , t thuộc (-pi/2;pi/2)
----Hàm chứa căn[(a+x)/(a-x)], đặt x=acos2t, t thuộc (0;pi/2)
----Hàm chứa căn[(x-a)(b-x)] , đặt x=a+(b-a)sin^2(t) , t thuộc [0;pi/2]
3.Đổi biến số hàm lượng giác: giả sử cần tính tích phân I=R(sinx,cosx)dx với R là hàm vô tỉ ta có thể chọn các hướng sau :
----Hướng 1: Nếu R lẻ đối với sinx,R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx) thì đặt t=cosx
----Hướng 2: Nếu R lẻ đối với cosx,R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx) thì đặt t=sinx
----Hướng 3: Nếu R chẵn đối với sinx và cosx, R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx) thì đặt t=tanx or t=cotx
----Hướng 4: Có thể đặt biến số t=tan(x/2) đê đưa về tích phân hàm phân thức hữu tỉ
TÍCH PHÂN CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
Ta dựa vào đặc thù của hàm , dùng phương pháp phân tích hoặc đồng nhất thức để đưa nguyên hàm đã cho về các nguyên hàm cơ bản sau:
--- I=|(ax+b)dx/(cx+e)=|[a(cx+e)/c +b – ae/c]dx/(cx+e) = a/c|dx + (b-ae/c)|dx/cx+e)
--- I=|(ax^2 + bx +c)dx/(ex+f) hoặc I=|(ax^2 + bx +c)dx/(mx^2 +nx+p) thì ta chia tử cho mẫu
--- I=|dx/(mx^2 + nx+p) ta xét 3 trường hợp:
++ TH1: Mẫu có 2 nghiệm x1 và x2 thì đưa về dạng:
I=|dx/(mx^2+nx+p) = |dx/m(x-x1)(x-x2) = 1/m(x1-x2)|(dx/(x-x1) – dx/(x-x2) = ln|(x-x1)/(x-x2)|/m(x1-x2)
++TH2: Mẫu có nghiệm kép thì đưa về dạng :
I=|dx/(mx^2+nx+p) = |dx/[m(x+n/2m)^2 = (-1)/[m(x+n/2m)
++TH3: Mẫu vô nghiệm thì đưa về dạng:
I=|dx/(mx^2+nx+p) = |dx/[(x+q)^2 + a^2] đặt x+q=atant
--- I=|(mx+n)dx/(ax^2+bx+c) = |[m(2ax+b)/2a +n-mb/2a]dx/(ax^2 +bx+c) =m/2a|d(ax^2+bx+c) – mb/2a|dx/(ax^2 +bx+c)
--- I=|p(x)/q(x) nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta chia tử cho mẫu rồi làm như trên
1…. I=P(x)f(x)dx với P(x) là đa thức còn f(x) là một trong các hàm số sin(ax+b),cos(ax+b),e^(ax+b),a^x,….
Đặt u=P(x) và dv=f(x)dx
Chú ý: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải tích phân từng phần n lần , mỗi lần P(x) sẽ giảm 1 bậc
2…..I=x^k.f(x)dx trog đó f(x) là 1 trog các hàm số sin(lnx),cos(lnx),…
Đặt u=f(x) và dv=x^k.dx
3….I=P(x)f(x)dx trog đó P(x) là e^(ax+b),a^(x) còn f(x) là sin(ax+b),cos(ax+b)
Đặt u=P(x) và dv=f(x)dx
Chú ý: Trog đó dạng 2 và 3 ta sẽ gặp tích phân luân hồi, sau khi tính 2 lần lại trở về tích phân ban đầu
4….I=P(x).ln^n(x)
Đặt u=ln^n(x) và dv=P(x)dx ( tính n lần )
5….I=căn(x^2 + a^2)
Đặt u=căn(x^2 +a^2) và dv=dx
TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1…Đổi biến số cách 1: Để tính tích phân I=|f(x)dx cận từ a đến b, ta đặt t=g(x) với g(x) chứa trog f(x). tiếp theo biểu diễn f(x)dx theo t và dt. Ta thu đc tích phân theo t ( nhớ rằng đổi biến là phải đổi cận)
---- Hàm có mẫu số, có thể chọn t là mẫu số
----hàm chứa căn[g(x)] có thể chọn t=căn[g(x)]
----Hàm có dạng 1/căn[(x+a)(x+b)] có thể chọn t=căn(x+a) + căn(x+b)
2…Đổi biến số cách 2: Để tính I=|f(x)dx ta đặt x=g(t) rồi cũng làm như cách 1 ( cách này kết hợp với phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ)
----Hàm chứa căn(a^2-x^2), đặt x=asint,t thuộc [-pi/2 đến pi/2]
----Hàm chứa căn(x^2-a^2), đặt x=a/cost, t thuộc [0;pi/2) giao [pi;3pi/2]
----Hàm chứa căn(x^2+a^2), đặt x=atant , t thuộc (-pi/2;pi/2)
----Hàm chứa căn[(a+x)/(a-x)], đặt x=acos2t, t thuộc (0;pi/2)
----Hàm chứa căn[(x-a)(b-x)] , đặt x=a+(b-a)sin^2(t) , t thuộc [0;pi/2]
3.Đổi biến số hàm lượng giác: giả sử cần tính tích phân I=R(sinx,cosx)dx với R là hàm vô tỉ ta có thể chọn các hướng sau :
----Hướng 1: Nếu R lẻ đối với sinx,R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx) thì đặt t=cosx
----Hướng 2: Nếu R lẻ đối với cosx,R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx) thì đặt t=sinx
----Hướng 3: Nếu R chẵn đối với sinx và cosx, R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx) thì đặt t=tanx or t=cotx
----Hướng 4: Có thể đặt biến số t=tan(x/2) đê đưa về tích phân hàm phân thức hữu tỉ
TÍCH PHÂN CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
Ta dựa vào đặc thù của hàm , dùng phương pháp phân tích hoặc đồng nhất thức để đưa nguyên hàm đã cho về các nguyên hàm cơ bản sau:
--- I=|(ax+b)dx/(cx+e)=|[a(cx+e)/c +b – ae/c]dx/(cx+e) = a/c|dx + (b-ae/c)|dx/cx+e)
--- I=|(ax^2 + bx +c)dx/(ex+f) hoặc I=|(ax^2 + bx +c)dx/(mx^2 +nx+p) thì ta chia tử cho mẫu
--- I=|dx/(mx^2 + nx+p) ta xét 3 trường hợp:
++ TH1: Mẫu có 2 nghiệm x1 và x2 thì đưa về dạng:
I=|dx/(mx^2+nx+p) = |dx/m(x-x1)(x-x2) = 1/m(x1-x2)|(dx/(x-x1) – dx/(x-x2) = ln|(x-x1)/(x-x2)|/m(x1-x2)
++TH2: Mẫu có nghiệm kép thì đưa về dạng :
I=|dx/(mx^2+nx+p) = |dx/[m(x+n/2m)^2 = (-1)/[m(x+n/2m)
++TH3: Mẫu vô nghiệm thì đưa về dạng:
I=|dx/(mx^2+nx+p) = |dx/[(x+q)^2 + a^2] đặt x+q=atant
--- I=|(mx+n)dx/(ax^2+bx+c) = |[m(2ax+b)/2a +n-mb/2a]dx/(ax^2 +bx+c) =m/2a|d(ax^2+bx+c) – mb/2a|dx/(ax^2 +bx+c)
--- I=|p(x)/q(x) nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta chia tử cho mẫu rồi làm như trên
